MATH BLOG: KEADAAN KELOMPOK

PEMBAHASAN

KEADAAN KELOMPOK (UKURAN PENEMPATAN)

Ukuran penempatan, terdiri dari :

1. Median

Median adalah nilai tengah dari gugusan data yang telah diurutkan atau disusun dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya dari data terbesar sampai data terkecil, median dibagi menjadi 2 perhitungan :

a. Median Bentuk Data Tunggal

Data tunggal dapat diselesaikan dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya.

Rumus: Me =

( n+1)

n = jumlah data

Ø Data ganjil

Penyelesaian :

v Mengurutkan data dari terkecil hingga yang terbesar

v Mencari posisi median dengan rumus : Me =

( n+1)

Contoh :

Diketahui data: 1,5,6,3,7,4,9,8,6

Tentukan median dari data tersebut !

Penyelesaian:

1. Urutkan data terkecil sampai data terbesar

1,3,4,5,6,6,7,8,9

2. Carilah posisi median

Me =

( 9+1)

= 5 (posisi pada data ke – 5, yaitu 6 )

Ø Data genap

Penyelesaian:

v Mengurutkan data dari terkecil hingga yang terbesar

v Mencari posisi median dengan rumus : Me =

(n+1)

Contoh :

Diketahui data : 3, 2, 4, 1, 6, 7, 10, 8

Tentukan median dari data tersebut.

Penyelesaian:

1. Urutkan data terkecil sampai data terbesar

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10

2. Carilah posisi median

Me =

(8+1)

= 4,5 (posisi pada data ke- 4,5)

v Jadi, Me =

(4+6) = 5

b. Median Bentuk Data Kelompok

Data kelompok dapat diselesaikan dengan cara membuat susunan distribusi frekuensi terlebih dahulu dengan cara mengurutkan dari data terkecil sampai data terbesar atau sebalikya, (kemudian menghitung rentangan (R) , jumlah kelas (K) , dan panjang kelas interval (P). Terakhir membuat distribusi frekuensi dilanjutkan mencari nilai mediannya dengan rumus :

Me =

Keterangan :

Me = Nilai median

Bb = Batas bawah sebelum nilai median akan terletak

P = Panjang kelas nilai median

n = Jumlah data

f = Banyaknya frekuensi kelas median

Jf = Jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas median

Contoh:

Diketahui data sebagai berikut :

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

No.	Nilai Interval	Frekuensi (f)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.	22 – 24 25 – 27 28 – 30 31 – 33 34 – 36 37 - 39 40 – 42	3 5 7 8 9 6 2
		n = ∑ f = 70

Carilah Median dari data tersebut !

Langkah-langkah menjawab :

a) Tandailah (Bb, P, Jf, dan f) secara singkat pada tabel berikut :

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

No.	Nilai Interval	Frekuensi (f)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.	22 – 24 25 – 27 28 – 30 Bb=30+0,5= 30,5 31 – 33 P = 3 34 – 36 37 - 39 40 – 42	3 5 Jf = 3+5+7=15 7 8 f = 8 9 6 2
		n = ∑ f = 70

b) Hitung nilai median dengan rumus :

Me =

= 32,375

Jadi nilai median (Me) = 32,375

2. Kuartil

Kuartil adalah nilai atau angka yang membagi data dalam empat bagian yang sama, setelah disusun dari data yang terkecil sampai data yang terbesar begitu juga sebaliknya. Kuartil dibagi menjadi 3 bentuk, yaitu :

a) Kuartil Bawah (Q₁)

Adalah nilai dalam distribusi yang membatasi 25% frekuensi di bagian atas dan 75% frekuensi di bagian bawah.

Rumus : Q₁= ¼ (n+1)

n = jumlah data

b) Kuartil Tengah (Q₂)

Adalah nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekuensi di bagian atas dan 50% frekuensi di bagian bawah.

Rumus : Q₂= ½ (n+1)

c) Kuartil Atas (Q₃)

Adalah nilai dalam distribusi yang membatasi 75% frekuensi di bagian atas dan 25% frekuensi di bagian bawah.

Rumus : Q₃= ¾ (n+1)

Sedangkan menurut datanya kuartil ada 2 macam, yaitu :

v Kuartil Data Tunggal

Contoh :

Diketahui data: 4, 5, 8, 9, 7, 6, 5

Hitunglah dan carilah posisi Q₁, Q₂, Q₃!

Penyelesaian:

a) Mengurutkan data tersebut dari yang terkecilsampai terbesar,

4, 5, 5, 6, 7, 8, 9

b) Menghitung dan mencari posisi Q₁, Q₂,Q₃dengan rumus.

Q₁ = ¼ (7+1)

= 2 ( terletak pada posisi ke-2, yaitu 5)

Q₂ = ½ (7+1)

= 4 ( terletak pada posisi ke-4, yaitu 6)

Q₃= ¾ (7+1)

= 6 ( terletak pada posisi ke-6, yaitu 8)

v Kuartil Data Kelompok

Kuartil data kelompok dapat dicari dengan rumus :

Q₁ =

Q₂ =

Q₃ =

Contoh :

Hitunglah semua kuartil pada distribusi frekuensi dalam tabel di bawah ini :

Interval	Frekuensi	F. kumulatif
21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50	3 9 4 10 3 11	3 12 16 26 29 40

Penyelesaian :

Q₁terletak pada 26 – 30

n = 40, Bb₁ = 25,5, f₁ = 9, Jf = 3, P = 5

Q₁= 25,5 + 5

= 25,5 +

= 29,39

Q₂terletak pada 36 – 40

n = 40, Bb₂= 35,5, f₂= 10, Jf = 16, P = 5

Q₂= 35,5 + 5

= 35,5 +

= 37,5

Q₃terletak pada 46 – 50

n = 40, Bb₃= 45,5, f₃= 11, Jf = 29, P = 5

Q₃= 45,5 + 5

= 45,5 +

= 45,95

3. Desil

Desil adalah nilai atau angka yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama, setelah disusun dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya. Cara mencarinya hampir sama dengan kuartil bedanya hanya pada pembagiannya saja. Kalau kuartil data dibagi menjadi empat bagian yang sama sedangkan desil data dibagi sepuluh bagian yang sama.

a. Desil Data Tunggal

Mempunyai sembilan posisi :

. . . . . . . . .

Sehingga letak dari D, (desil ke-i) dirumuskan sebagai berikut :

D_i =

Keterangan :

D_i = Desil ke –i

i = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

n = Banyaknya data

= Urutan data ke

Contoh :

Diketahui data : 7,8,7, 9, 9, 13, 4 ,5 7, 8, 9 , 6, 5. Tentukan D₃dan D₇!

Penyelesaian :

Urutan data tersebut : 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 13

D₃ =

+ 0,2 (7-6)

= 6,2

D₇ =

+ 0,8 (9-8)

= 9,8

b. Desil Data Kelompok

Desil data kelompok dapat dicari dengan membuat susunan distribusi frekuensi terlebih dahulu, supaya mempermudah perhitungan. Caranya urutkan terlebih dahulu data terkecil sampai terbesar atau sebaliknya, kemudian menghitung rentangan (R), jumlah kelas (K), dan panjang kelas interval (P). Akhirnya buatlah distribusi frekuensi dilanjutkan mencari nilai desil dengan rumus :

Ds_{(data ke – x)}=

Keterangan :

Ds =Nilai desil

Bb = Batas bawah kelas sebelum nilai desil akan terletak

P = Panjang kelas nilai desil

n = Jumlah data

f = Banyaknya frekuensi kelas desil

Jf = Jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas desil.

Contoh :

Diketahui data sebagai berikut :

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

No.	Nilai Kelas Interval	Frekuensi(f)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.	60 - 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94	2 6 15 20 16 7 4
		n = ∑ f = 70

Carilah Ds₈?

Langkah-langkah menjawab :

a) Berilah tanda (Bb, P, Jf dan f) pada tabel distribusi frekuensi :

NilaiKelas Interval

Frekuensi(f)

60 - 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79 Bb=79+0,5= 79,5

80 – 84 P = 5

85 – 89

90 - 94

Jf=2+6+15+20=43

16 f = 16

n = ∑ f= 70

Diketahui :

Posisi Ds₈ =

x n =

x 70 = 56

Bb = 79,5

P = 5

Jf = 43

f = 16

b) Hitunglah Desil (Ds₈) dengan rumus :

Ds_{(data ke – x)}=

= 83,56

4. Persentil

Persentil (Ps) adalah nilai yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama, setelah disusun dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya. Cara mencari Persentil hampir sama dengan mencari nilai Desil. Bedanya kalau desil data dibagi 10 bagian yang sama, sedangkan Persentil data dibagi 100 bagian yang sama.

a. Persentil Data Tunggal

Persentil data tunggal dapat dicari dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya. Kemudian posisi Persentil dicari dengan rumus :

Posisi Ps_x =

(n+1)

Keterangan : n = Jumlah data

x = 1 - 99

Contoh :

Diketahui data : 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 75, dan 50

Carilah nilai dan letak pada posisi (Ps₂₀ dan Ps₈₀) !

Langkah-langkah menjawab :

a) Urutkan data terkecil sampai data terbesar

35, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 75, 80, 90

b) Hitunglah dan carilah nilai dan posisi Persentil (Ps₂₀ dan Ps₈₀) dengan rumus :

v Posisi Ps₂₀ =

(n+1) =

(10+1) = 2,2

Maka nilai Ps₂₀ dapat diselesaikan dengan cara :

Ps₂₀ = Data ke-2 + data 0,2 (data ke-3 – data ke-2)

= 40 + 0,2 (45 - 40)

= 41

Jadi, Posisi Ps₂₀ berada pada nilai 41

v Posisi Ps₈₀ =

(n+1) =

(10+1) = 8,8

Maka nilai Ps₈₀dapat diselesaikan dengan cara :

Ps₈₀ = Data ke-8 + data 0,8 (data ke-8 – data ke-7)

= 75 + 0,8 (80 - 75)

= 79 (Jadi, Posisi Ps₈₀ berada pada nilai 79)

b. Persentil Data Kelompok

Persentil data kelompok dapat dicari dengan membuat susunan distribusi frekuensi terlebih dahulu, agar mempermudah perhitungan. Caranya urutkan terlebih dahulu data terkecil sampai terbesar atau sebaliknya, kemudian menghitung rentangan (R), jumlah kelas (K), dan panjang kelas interval (P). Akhirnya buatlah distribusi frekuensi dilanjutkan mencari nilai persentil dengan rumus :

Ps_{(data ke – x)}=